大物期中复习之静电场I

网课摸鱼了一个多月，快期中考试了，得整理下知识点应付考试。

库仑定律

静电场最基本的一个公式就是库仑定律了，它给出了真空中两个静止点电荷之间的作用力的表达式：

其中$\epsilon_0$是真空介电常量.

电场强度

场强是一个矢量，给出电场强度的定义式：

由于场强是一个矢量，所以它也满足平行四边形法则，可以进行矢量的运算。利用库伦定律和电场强度的叠加原理我们就可以计算场强分布。

对于点电荷产生的电场强度分布，有：

一些常见的场强分布和求场强的方法

在本章中，求电场强度分布是一个重点，这类题也比较多，是考试的重点。总结一下一些基本的，常见的模型有助于解题。

• 电偶极子

  两个大小相等的异号点电荷$+q$和$-q$，相距为$l$，如果要计算电场强度的各场点相对这一对点电荷的距离$r$比$l$大很多$(r>>l)$，这样一对电荷称为电偶极子。

  定义$p=ql$为电偶极子的电偶极矩（是一个矢量）。$l$的方向规定为由负电荷指向正电荷。下面求其连线的中垂线上距离连线$r$处的电场强度。

  

  由点电荷产生的电场强度表达式可知：
  

  $$\left\{ \begin{aligned} E_1 ={1\over4\pi\epsilon_0}{q\over x^2}\\ E_2 ={1\over4\pi\epsilon_0}{q\over x^2}\\ \end{aligned} \right.$$
  
  这里$E_1$ 和$E_2$是两个点电荷在该点的场强大小，由电场强度叠加可知，总场强为$2E_1sin\theta$，且：
  
  $$sin\theta = { {l\over2}\over x} = {l\over2x}$$
  
  可以得到：
  
  $$E ={ql\over4\pi\epsilon_0(\frac{l^2}{4}+r^2)^ \frac 32}$$
  
  由于$r>>l$，所以$(\frac{l^2}{4}+r^2)^ \frac{3}{2} = r^3$，则该点的电场强度大小为：
  
  $$E ={ql\over4\pi\epsilon_0r^3}$$
  
  方向水平向右。还可以把上述结果写为：$E =-{p\over4\pi\epsilon_0r^3}$，p为电偶极矩。这是一个矢量表达式，该结果表明，电场强度的方向与电偶极矩的方向相反。

• 半径为R，带电量为q的细圆环，其轴线上距圆心x处的P点的场强分布

  

  在圆环上取一微元dq，每一个微元在P点产生的场强大小为：
  

  $$E = {1\over4\pi\epsilon_0}{dq\over r^2}$$
  
  由于圆环的对称性，沿y轴的分量抵消，只剩下沿x轴的分量，写出$dE_x=dEcos\theta={xdq\over4\pi\epsilon_0r^3}$,其中$cos\theta=\frac{x}{r}$.

  对整个圆环积分：
  

  $$\begin{aligned} &E = {x\over4\pi\epsilon_0r^3}\int_L dq\\ &\int_L dq = q\\ &r^2=R^2+x^2 \end{aligned}$$
  
  可以得到：
  
  $$E ={qx\over4\pi\epsilon_0(R^2+x^2)^ \frac{3}{2}}$$

  这就是圆环轴线上x处的电场强度大小的表达式。对x取特殊值：
  

  $$\left\{ \begin{aligned} &x=0 \qquad \quad E =0\\ &x>>R \qquad E =\frac{q}{4\pi\epsilon_0x^2} \end{aligned} \right.$$

• 半径为R，均匀带电+q的圆形平板轴线上的电场强度。

  

  对于这题的求解，可以利用上一题细圆环的结果，积分就可以得到圆形平板的E.

  在半径r处取一宽度为dr的圆环，则：
  

  $$dq=2\pi rdr· \frac{q}{\pi R^2}$$
  
  由细圆环在其轴线上产生的电场强度大小表达式可知：
  
  $$dE= E ={xdq\over4\pi\epsilon_0(r^2+x^2)^ \frac{3}{2}}$$
  
  带入dq的表达式：
  
  $$E =\frac{qx}{2\pi\epsilon_0R^2} \int_0^R\frac{rdr}{(r^2+x^2)^\frac{3}{2}}$$
  
  对于上面这个定积分，要换元，令$u=r^2+x^2$,然后积分得到：
  
  $$E =\frac{q}{2\pi\epsilon_0R^2} (1-\frac{x}{(r^2+x^2)^\frac{1}{2}})$$
  
  如果令电荷面密度$\sigma=\frac{q}{\pi R^2}$，则上式也可以写为$E =\frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0} (1-\frac{x}{(r^2+x^2)^\frac{1}{2}})$

  改变上述定积分的上下限，可以得到有孔圆板、有孔无限大平板、和无限大平板在其轴线x处的电场强度分布的表达式：

  

  1、有孔圆板

  改积分上下限分别为$R_1,R_2$：
  

  $$E =\frac{\sigma x}{2\epsilon_0} \int_{R_1}^{R_2}\frac{rdr}{(r^2+x^2)^\frac{3}{2}}$$
  
  不难解出：
  
  $$E =\frac{\sigma x}{2\epsilon_0}(\frac{1}{(R_1^2+x^2)^\frac12}-\frac{1}{(R_2^2+x^2)^\frac12})$$

  2、有孔无限大平板

  改积分上下限分别为$R,+\infty$：
  

  $$E =\frac{\sigma x}{2\epsilon_0} \int_{R}^{+\infty}\frac{rdr}{(r^2+x^2)^\frac{3}{2}}$$
  
  不难解出：
  
  $$E =\frac{\sigma x}{2\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{R^2+x^2}}$$
  
  3、无限大平板

  改积分上下限分别为$0,+\infty$：
  

  $$E =\frac{\sigma x}{2\epsilon_0} \int_{0}^{+\infty}\frac{rdr}{(r^2+x^2)^\frac{3}{2}}$$
  
  不难解出：
  
  $$E =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

• 均匀带正电直线段，长为L，带电q，如图，求距离线外a处P点的场强

  

  设其电荷线密度$\lambda=\frac ql$,建立如图所示的坐标系，在距远点y处取一微元dy，则$dq=\lambda dy=\frac {qdy}L$

  微元在P点产生的场强大小为：
  

  $$E = {1\over4\pi\epsilon_0}{dq\over r^2}={1\over4\pi\epsilon_0}{qdy\over r^2}$$
  
  将场强沿平行于x轴和垂直于x轴分解，则：
  
  $$\left\{ \begin{aligned} dE_x =dEsin\theta\\ dE_y =dEcos\theta\\ \end{aligned} \right.$$
  
  由几何关系可知：$y=atan(\theta - \frac \pi2)=-acot\theta，dy=acsc^2\theta$，这里是先使用诱导公式把tan变成cot然后再求导：$(cot\theta)'=-csc^2 \theta$
  
  $$\left\{ \begin{aligned} dE_x ={q\over4\pi a\epsilon_0L}{sin\theta csc^2\theta d \theta \over 1+cot^2\theta}\\ dE_y ={q\over4\pi a\epsilon_0L}{cos\theta csc^2\theta d \theta \over 1+cot^2\theta}\\ \end{aligned} \right.$$
  
  积分得到：
  
  $$\left\{ \begin{aligned} E_x ={q\over4\pi a\epsilon_0L} \int_{\theta_1}^{\theta_2}{sin\theta csc^2\theta d \theta \over 1+cot^2\theta}\\ E_y ={q\over4\pi a\epsilon_0L} \int_{\theta_1}^{\theta_2}{cos\theta csc^2\theta d \theta \over 1+cot^2\theta}\\ \end{aligned} \right.$$
  
  看着复杂，化简一下就知道${csc^2\theta \over 1+cot^2\theta}=1$，所以解得：
  
  $$\left\{ \begin{aligned} E_x ={q\over4\pi a\epsilon_0L}(cos\theta_1 - cos\theta_2)\\ E_y ={q\over4\pi a\epsilon_0L}(sin\theta_2 - sin\theta_1)\\ \end{aligned} \right.$$
  
  这就是本题的解，真正地场强是上述两个分量的矢量合成。

  如果是无限长的直线，则：$\theta_1\to 0,\theta_2\to \pi$，则：
  

  $$\left\{ \begin{aligned} &E_x ={q\over4\pi a\epsilon_0L}(cos\theta_1 - cos\theta_2)=\frac{q}{2\pi aL\epsilon_0}=\frac{\lambda}{2\pi a\epsilon_0}\\ &E_y ={q\over4\pi a\epsilon_0L}(sin\theta_2 - sin\theta_1)=\quad0\\ \end{aligned} \right.$$
  
  可以看出，对于无限长直线，其周围的场强与到直线的距离成反比。

小结：一般来说，在已知电荷分布求场强时，要适当地选取电荷元，建立坐标系，积分。要重视对称性的分析，所选的电荷元和坐标系要好积分。还有就是可以利用已知的电场强度模型基础上应用叠加原理改进，例如从细圆环到圆形面板、无限大平板等等。

高斯定理

高斯定理也是本章的一个重点，在利用高斯定理求某些电荷分布产生的电场强度时会比较简便。它指出：真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量。在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘以$\frac 1\epsilon$

下面是应用高斯定理求场强的一些例题。

• 无限长带电直线的电场强度分布

  在前面，已经用电荷元积分的方法计算过无限长带电直导线的电场强度分布，这次用高斯定律来求解。

  

  首先需要明确：应用高斯定律求场强是有条件的，基本思路就是找一个闭合曲面为高斯面，让穿过该面的电通量=闭合曲面所包围的电量的代数和乘以$\frac 1 {\epsilon_0}$。在求穿过闭合曲面的电通量时，用的是积分$\int_s Ecos\theta dS$，$\theta$是电场强度矢量和面积微元的法向量之间的夹角，所以选择的高斯面上的面积微元的法向量与E要么平行（$cos\theta=1$），要么与E垂直（$cos\theta=0$），且如果高斯面上的面积微元的法向量与E平行时，E地大小必须是常量，这样才能积分。

  如果所示，选经过P点的一个圆柱面作为高斯面，在圆柱的侧面上，电场强度的大小E处处相等，方向沿径向外。在圆柱的上下地面，电场强度与面积元dS平行，电通量为0.所以：
  

  $$\Phi_e=\int Ecos\theta dS=E\int_{侧面}dS=2\pi rlE$$
  
  由于带电直线的线密度为$\lambda$，则高斯面所包含的电量为$\lambda l$，于是由高斯定理有：
  
  $$2\pi rlE=\lambda l \frac 1{\epsilon_0}\\ E=\frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}$$
  
  这与前面的方法算出的结果是一致的，但显然过程更简洁。

• 均匀带电球面的电场强度分布

  球面半径为R，所带电量为+q

  

  1、先求球面外部距球心r处的P点的电场强度：

  过P点做高斯面，为一个圆心和球面重合，半径为r的球面。在该高斯面上，电场强度的大小处处相同，方向沿半径向外。则：
  

  $$\Phi_e=\int Ecos\theta dS=E\int_{球面}dS=4\pi r^2E$$
  
  高斯面所包围的电量为q，则有：
  
  $$4\pi r^2E=q\frac 1{\epsilon_0}$$
  
  解得：
  
  $$E = \frac {q}{4\pi r^2 \epsilon_0}(r>R)$$
  
  2、再求在球面内部一点，距球心r处的P点的电场强度

  过P点做高斯面，为一个圆心和球面重合，半径为r的球面，可以知道，该高斯面没有包围任何电荷，所以$E=0(r<R)$.

  综上所述：
  

  $$E= \left\{ \begin{aligned} &\frac {q}{4\pi r^2 \epsilon_0} &,\qquad r>R\\ &\quad 0 &,\qquad r<R\\ \end{aligned} \right.$$

• 无限大均匀带电平面的电场

  平面上的电荷面密度为$+\sigma$，如图：

  

  取一个底面积为S 的圆柱面为高斯面，该圆柱面穿过带电平面，且关于带电平面对称，P点在一个底面上。则对于圆柱面的侧面，电场强度平行于面积元，所以电通量为0. 对于两个底面，其上的电场强度大小处处相等，方向垂直于底面向外。所以：
  

  $$\Phi_e=\int Ecos\theta dS=E·2\int_{底面}dS=2ES$$
  
  高斯面所包围的电量为$\sigma S$，则有：
  
  $$2ES=\sigma S \frac 1{\epsilon_0}\\ E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$
  
  可见，无限大均匀带电平面在其周围产生的电场是匀强电场。

• 均匀带电球体的电场分布

  球体半径为R，电荷体密度为$\rho$

  

  1、先求球体外部距球心r处的P点的电场强度：

  取过P点的球面为高斯面，该球面的球心与球体的球心重合，半径为r，在高斯面上，电场强度的大小处处相等，方向沿半径向外。则有：
  

  $$\Phi_e=\int Ecos\theta dS=E\int_{球面}dS=4\pi r^2E$$
  
  该高斯面所包围的电量为全部，即$\rho \frac43 \pi R^3$，则有：
  
  $$4\pi r^2E=\rho \frac43 \pi R^3 \frac 1{\epsilon_0}\\ E=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0r^2}$$
  
  2、再求在球面内部一点，距球心r处的P点的电场强度

  取过P点的球面为高斯面，该球面的球心与球体的球心重合，半径为r，在高斯面上，电场强度的大小处处相等，方向沿半径向外。则有：
  

  $$\Phi_e=\int Ecos\theta dS=E\int_{球面}dS=4\pi r^2E$$
  
  该高斯面所包围的电量为$\rho \frac43 \pi r^3$，则有：
  
  $$4\pi r^2E=\rho \frac43 \pi r^3 \frac 1{\epsilon_0}\\ E=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}$$
  
  综上所述：
  
  $$E= \left\{\begin{aligned} &\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0r^2} &,\qquad r\geq R\\ &\frac{\rho r}{3\epsilon_0}&,\qquad r<R\\\end{aligned}\right.$$
  
  可以感受到，利用高斯定律求解电场强度是很简洁的，但是它只适用于特殊的电荷分布。由上面的例子可以看到：对于均匀带电球面（球体）、均匀带电无限长直线（均匀带电无限长圆柱）和均匀带电无限大平面这三类系统可以用高斯定律来求它们产生的电场强度分布，因为对于这三类带电系统可以做出能积分算出电通量的高斯面在已知上面三类系统的场强基础上，利用叠加原理可以计算出其他复杂带电系统的场强分布。